Аналіз кінцевих елементів: яка різниця між елементами першого і другого порядку?


Відповідь 1:

Wasfi Zakaria представив чудовий опис підходу, який відрізняє елементи першого порядку від елементів другого порядку.

Існує тонка складність, що вводиться в елементи, коли вони стають вищого порядку.

Давайте подивимось на трикутник у реальному просторі.

Функція канонічної форми у реальних координатах для лінійного елемента трикутника:

P = a + bx + cy (3 параметри та 3 вузли)

і

dP / dx = b або деформація в напрямку x може лінійно змінюватися у.

dP / dy = c або деформація у напрямку y може лінійно змінюватися в x.

Функція канонічної форми в реальних координатах для білінеарного трикутника (другого порядку) є:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 параметрів і 6 вузлів)

і

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

І ми знову маємо симетричну деформацію.

Тепер давайте подивимося на лінійний квадратичний елемент:

P = a + bx + cy + dxy (чотири параметри, чотири вузли)

і

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Зауважте, що в полях d / dx та d / dy існує асиметрія.

Тепер давайте подивимося на двоквадратичний елемент serendipity (вісім вузлів):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (вісім параметрів, вісім вузлів)

і деформаційні поля можуть визначатися за допомогою

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

і знову деформаційні поля не симетричні.

Таким чином, елементи трикутника (і тетраедричні елементи i 3D) мають симетричні напружені (і, отже, напружені) поля, тоді як квадратичні елементи серединності не мають.

Чому це важливо?

Давайте подивимось на чисте поле постійного переміщення (постійне розтягнення). Весь елемент проявлятиме лише постійний термін деформації і всі поводяться однаково добре.

Давайте розглянемо лінійну деформацію по всьому перерізу (як скажімо при чистому згинанні) лінійний трикутник є постійною деформацією і, таким чином, відповідає дійсній деформації як набір ступеневих функцій і зближується дуже повільно. Для певних проблем (пластичності) ці елементи фактично фіксуються та правильно викладені, поведінка конвергенції дивна. Білінейні елементи, однак, можуть явно представляти лінійно мінливе поле деформації в x або y, і елементи сходяться негайно для одного елемента.

Тепер давайте розглянемо поля переміщення вищого порядку, скажімо, кубічне поле переміщення, яке дає квадратичні деформаційні поля (згинання під кінцевим навантаженням). Білінеарний трикутник буде відповідати полі переміщення з набором квадратичних полів, а збіжність є відносно швидкою. Як і розумне, зміна поля деформації може бути симетрично представлена ​​по всьому елементу, і поле деформації добре поводиться. Давайте розглянемо елементи квадроцикла. Вони алосують поле переміщення як набір квадратних полів переміщення і зближуються досить швидко. Однак зараз є компоненти деформації другого порядку, і вони можуть збуджувати умови другого порядку у похідних функцій форми. І коли поле переміщення стає більш серйозним і складнішим, ці деформаційні поля вищого порядку все більше збуджуються. Результатом можуть бути коливальні напруження (а отже, і напруження), див. Нижче.

взято з:

Структурний аналіз методом кінцевих елементів. Лінійна статика

Про це детальніше йдеться у:

Найменші квадрати напружують згладжування для восьмивузлового елемента площини серединпіті

і

Процедури кінцевих елементів

і

Структурний аналіз методом кінцевих елементів. Лінійна статика

Найменше згладжування квадратів над елементом (пряма лінія в цьому випадку) - дуже ефективне рішення цього завдання.

Вплив:

1) квадрати / прямокутники сходяться швидше, ніж трикутники / тетраедри

2) білінеарні елементи сходяться набагато швидше, ніж лінійні елементи

3) білінеарні (або лангрангійні або ...) квадрати / прямокутники чутливі до паразитичних коливань напруги

4) найменше квадратне прилягання полів деформації / напруги над елементом дуже ефективно при зменшенні цього коливання


Відповідь 2:

Після дискретизації у ЗЕД, всім елементам присвоюється функція (поліном), яка використовувалася б для представлення поведінки елемента. Для цього переважні поліноміальні рівняння, оскільки їх можна легко диференціювати та інтегрувати. Порядок елемента такий же, як порядок поліноміального рівняння, використовуваного для представлення елемента.

Лінійний елемент або елемент першого порядку матимуть вузли лише в кутах. Це щось на кшталт кубічної структури, орієнтованої на край.

Однак елемент другого порядку або квадратичний елемент матимуть середні бокові вузли на додаток до вузлів на куті (край кузова структури + тіло + грань).

Лінійний елемент на наведеній діаграмі чітко має два вузли на ребрі, тому для представлення поведінки елемента потрібно призначити лише лінійне рівняння.

Однак квадратичний елемент потребує квадратичного рівняння для опису його поведінки, оскільки він має три вузли.

Для елементів, у яких ви хочете зафіксувати кривизну, переважні поліноми вищого порядку. Елементи першого порядку не можуть фіксувати кривизну.

Порядок елемента не має нічого спільного з геометрією. На наведеній нижче схемі для того ж трикутника можна зробити перший порядок, а також другий дискретизацію, але другий порядок має хороші шанси на фіксацію кривизни.

Для точного фіксації складних кривизнів потрібні поліноми дуже високого порядку, але вони виходять за рахунок збільшення часу на обчислення. Отже, краще здійснювати торгівлю між ступенем точності та обчислювальним часом.

Тепер давайте поговоримо про кількість вузлів між елементами першого та другого порядку. Кількість вузлів надходить трикутником Паскаля.

Далі йдеться про трикутники. Для 0-го порядку кількість доданків дорівнює 1, тобто кількість вузлів має бути 1.

Для лінійного (многочлен першого порядку) кількість доданків дорівнює 3, а кількість вузлів має бути 3.

Для квадратичного (многочлен другого порядку) число доданків дорівнює 6, що є числом вузлів = 6.

Тепер у випадку квадратів ми повинні розглядати квадрат як додавання двох трикутників. Результати для 0-го порядку, лінійного та квадратичного є наступними:


Відповідь 3:

Елементи першого порядку, як правило, складаються з комбінації ліній (значить, побудова FOE регулюється лінійними деференційними рівняннями або деференціальними рівняннями першого порядку), тобто трикутником, елементом tat. Вони найкраще в точності під час роботи з геометрично зміщеними фігурами, такими як ідеальний квадрат, прямокутник тощо. Вони мають менші вузли на потрібній території.

Елементи другого порядку складаються з кривих і кривих ліній (значить, побудова ДП регулюється деференціальними рівняннями другого порядку), вони мають тенденцію показувати більшу кількість точності на геометрично зміщених, а також дуже складних або складних геометричних елементах під час виконання ЗЕД


Відповідь 4:

це поліноміальна функція, яка описує елемент, насправді для елементів першого порядку є така функція, як: P (x) = a * x + b

а для елементів другого порядку функція є на зразок: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

На малюнку вище перший рядок елементів 1-го порядку, тоді як елементи 2-го порядку - у другому рядку.

PS: ви можете бачити параболічну форму елементів 2-го порядку, це те, що елементи 1-го порядку не можуть вам надати.