Чи можна різницю між локальною та абсолютною / глобальною максимальною та мінімальною точками знайти математично (без графіків)?


Відповідь 1:

Ви переходите до математичних теорем і доказів, щоб розробити такі речі.

Якщо ви здатні довести, що ваша функція є опуклою функцією, то ви знаєте, що вона має лише один локальний мінімум і, отже, абсолютний мінімум. Такий же аргумент можна зробити для максимумів, якщо взяти мінус функції.

Якщо ви здатні довести, що ваша функція є другою диференційованою, а друга похідна є негативною майже скрізь, то ви тільки що довели, що вона опукла, і тоді ви можете це використовувати.

Якщо ваша функція реальної змінної є многочленам непарного порядку, ніж ви знаєте, вона не має абсолютної крайності. Якщо це рівний порядок, то ви дивитесь на ознаку первинного терміна і у вас немає ні абсолютних максимумів, ні абсолютних мінімумів.

Якщо ви можете розбити свою функцію на купу частин, де кожна з цих частин має вищезазначені властивості, то ви можете відфільтрувати можливих кандидатів на те, що вони є глобальною екстремією.

Нарешті, коли у вас є обмежений список балів, ви завжди можете їх перевірити.

Там, де все стає складніше, коли ви працюєте з функціями (або їх негативами), які не є опуклими і не диференційованими. На цьому етапі чим менше ви знаєте про функцію, тим менше ви зможете довести, що крайня точка є глобальною крайньою точкою.

Теорія оптимізації - це дуже велика область сучасних математичних досліджень.